Question

15．若$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均為單位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{1}{2}，\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b，（{x，y∈R}）$，則x+y的最大值是2．

Answer 1

分析 由題意可知${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）²=x²+y²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$xy=x²+y²-xy=1，設(shè)x+y=t，y=t-x，得3x²-3tx+t²-1=0，由方程3x²-3tx+t²-1=0有解，知△=9t²-12（t²-1）≥0，由此能求出x+y的最大值

解答 解：$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均為單位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{1}{2}，\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b，（{x，y∈R}）$，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$）²=x²+y²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$xy=x²+y²-xy=1，
設(shè)x+y=t，y=t-x，得：x²+（t-x）²-x（t-x）-1=0，
∴3x²-3tx+t²-1=0，
∵方程3x²-3tx+t²-1=0有解，
∴△=9t²-12（t²-1）≥0，
-3t²+12≥0，
∴-2≤t≤2
∴x+y的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意平面向量的數(shù)量積和換元法的靈活運(yùn)用．本題也可用基本不等式解答