Question

17．如果點M（x，y）在直線3x-4y+4=0上，則f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$取得最小值時，點M的坐標為（-8，-5）．

Answer 1

分析 根據f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$的幾何意義求出其最小值即可得出結論．

解答 解：∵$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$是點A（x，y）和點B（-3，5）間的距離，$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$是點A（x，y）和點C（2，15）間的距離，容易驗證出：點A、B都不在直線3x-4y+4=0上，且在異側．
∴|AB|+|AC|≧|BC|=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5-15）^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴f（x）=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-5）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-15）^{2}}$取得最小值5$\sqrt{5}$，
此時直線BC的方程為y-5=$\frac{15-5}{2+3}$（x+3），即2x-y+11=0，
與3x-4y+4=0聯立，可得x=-8，y=-5，
∴M（-8，-5）．
故答案為：（-8，-5）．

點評 本題考查兩點間的距離公式，考查幾何意義的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．