Question

18．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n-1，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}-3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，則使數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＞0的n的值為1和2．

Answer 1

分析 通過(guò)遞推關(guān)系可知a_2n+1-a_2n=-6n，a_2n+2=$\frac{1}{3}$a_2n+1+2n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，通過(guò)分組法求和可知S_2n=-2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2，進(jìn)而比較即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_2n+1-a_2n=-6n，a_2n+2=$\frac{1}{3}$a_2n+1+2n，
∴a_2n+2=$\frac{1}{3}$（a_2n-6n）+2n=$\frac{1}{3}$a_2n，
∴數(shù)列{a_2n}是以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
又∵a₂=$\frac{1}{3}$+1-1=$\frac{1}{3}$，a_2n=$\frac{1}{3}$a_2n-1+（2n-2），
∴a_2n-1=3a_2n-3（2n-2）=3•$\frac{1}{{3}^{n}}$-6n+6，
∴a_2n-1+a_2n=4•$\frac{1}{{3}^{n}}$-6n+6，
于是S_2n=4（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-6（1+2+…+n）+6n
=4•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-6•$\frac{n（n+1）}{2}$+6n
=-2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2，
顯然當(dāng)n≥2時(shí)，S_2n-S_2n-2=4•$\frac{1}{{3}^{n}}$+6-6n＜0，單調(diào)遞減，
又∵S₂=$\frac{4}{3}$＞0，S₄=-$\frac{38}{9}$＜0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_2n＜0，
由于S_2n-1=S_2n-a_2n=-3•$\frac{1}{{3}^{n}}$-3n²+3n+2單調(diào)遞減，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，S_2n-1＞0，
綜上所述，滿(mǎn)足S_n＞0的n的值為1和2，
故答案為：1和2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．