Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零點；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=4，f（A）=2，△ABC的面積S=$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積得出f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．再運用三角函數(shù)性質(zhì)求解在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零點；
（Ⅱ）由f（A）=2，得出$A=\frac{π}{3}$．根據(jù)面積公式得出$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}$，化簡得出bc=4，根據(jù)余弦定理，再運用配方求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（m-n）•m=$（sinx+\sqrt{3}cosx，1）•（2sinx，-1）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx+2{sin^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由f（x）=0，得$2x-\frac{π}{6}=kπ$（k∈Z），則$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$（k∈Z），
因為$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，所以f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零點是$-\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$．
（Ⅱ）由f（A）=2，得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
所以$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
因為0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
因為根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，
所以$b+c=2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運用及應用，正弦定理在三角形中的應用，綜合性較大，關鍵是結合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求解．