Question

3．已知拋物線y²=6x和點(diǎn)P（4，1），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由${y}_{1}^{2}=6{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=6x₂，可得$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6，利用斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出；
（2）直線l的方程為y-1=x-4，化為y=x-3；與拋物線方程聯(lián)立化為x²-12x+9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得|AB|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l的距離，可得S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=4，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_AB，
∵${y}_{1}^{2}=6{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=6x₂，∴$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6，∴2k_AB=6，解得k_AB=3．
∴直線l的方程為：y-1=3（x-4），化為3x-y-11=0．
（2）直線l的方程為y-1=x-4，化為y=x-3；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，化為x²-12x+9=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（1{2}^{2}-4×9）}$=$6\sqrt{6}$．
原點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×\frac{3}{\sqrt{2}}$=$9\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．