Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax+2，g（x）=x³-x²-3．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值與最小值；
（2）對于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，則f′（1）=1-2+a=0，解得a=1．f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究I其單調(diào)性即可得出．
（2）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$）0，x∈[1，2]，利用函數(shù)g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)性，可得x=2時函數(shù)g（x）取得最大值，g（2）=1．由對于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，?f（x）_min≥g（x）_max=1，x∈[1，2]，?可得lnx-x²+ax+1≥0，在x∈[1，2]上恒成立，a≥x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．令h（x）=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得最大值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，則f′（1）=1-2+a=0，解得a=1．
f（x）=lnx-x²+x+2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$≤0，x∈[1，2]．
∴函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減．
∴f（x）_min=f（2）=ln2，f（x）_max=f（1）=2．
（2）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$）＞0，x∈[1，2]，
可得：函數(shù)g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，∴x=2時函數(shù)g（x）取得最大值，g（2）=1．
由對于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，?f（x）_min≥g（x）_max=1，x∈[1，2]，
∴l(xiāng)nx-x²+ax+1≥0，在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．
令h（x）=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．
h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增．
∴x=2時，函數(shù)h（x）取得最大值，h（2）=2-$\frac{1}{2}-\frac{ln2}{2}$=$\frac{3-ln2}{2}$．
∴a≥$\frac{3-ln2}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{3-ln2}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．