分析 (1)利用曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離與它到y(tǒng)=-1的距離相等,可知曲線C1是以F(0,1)為焦點(diǎn),開口向上的拋物線,進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論;
(2)通過設(shè)P(x0,14x02),進(jìn)而計(jì)算出切線AP方程為y=x02x-14x02,并令y=0可知A(12x0,0),通過設(shè)圓C2的切線AB的方程為x=ty+12x0,利用1=|0−t−12x0|√1+t2可知圓C2的切線AB的方程為x=4−x024x0y+12x0,利用圓外一點(diǎn)切線的性質(zhì)計(jì)算可知dAB=yP,進(jìn)而可得結(jié)論.
解答 解:(1)∵曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1,
∴曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離與它到y(tǒng)=-1的距離相等,
∴曲線C1是以F(0,1)為焦點(diǎn),開口向上的拋物線,
∴曲線C1方程為:x2=4y;
(2)結(jié)論:△PAB與△PAO的面積相等.
理由如下:
設(shè)P(x0,14x02),則過點(diǎn)P的曲線C1的切線的斜率為12x0,
則切線AP方程為:y=x02x-14x02,
令y=0可知x=12x0,即A(12x0,0),
設(shè)圓C2的切線AB的方程為:x=ty+12x0,
則1=|0−t−12x0|√1+t2,整理得:t=1x0-x04,
∴圓C2的切線AB的方程為:x=4−x024x0y+12x0,
點(diǎn)P到直線AB的距離dAB=|x0+(x04−1x0)•14x02−12x0|√1+(x04−1x0)2=|x03+4x016|√12+x0216+1x02=14x02,
又∵AB=OA,dAB=yP,
∴△PAB與△PAO的面積相等.
點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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A. | ρ=2\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4}) | B. | ρ=2\sqrt{2}sin(θ-\frac{π}{4}) | C. | ρ=2\sqrt{2}cos(θ+\frac{π}{4}) | D. | ρ=-2\sqrt{2}cos(θ-\frac{π}{4}) |
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