Question

15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1．
（1）求曲線C₁方程；
（2）設(shè)P為C₁上一點(diǎn)（位于y軸右側(cè)），過P作C₁的切線，與x軸交于A．直線AB與圓C2：x²+（y-1）²=1相切于點(diǎn)B（異于點(diǎn)O），問△PAB與△PAO的面積之比是否為定值？若是，求出該比值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離與它到y(tǒng)=-1的距離相等，可知曲線C₁是以F（0，1）為焦點(diǎn)，開口向上的拋物線，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)P（x₀，$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$），進(jìn)而計(jì)算出切線AP方程為y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，并令y=0可知A（$\frac{1}{2}$x₀，0），通過設(shè)圓C₂的切線AB的方程為x=ty+$\frac{1}{2}$x₀，利用1=$\frac{|0-t-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$可知圓C₂的切線AB的方程為x=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4{x}_{0}}$y+$\frac{1}{2}$x₀，利用圓外一點(diǎn)切線的性質(zhì)計(jì)算可知d_AB=y_P，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1，
∴曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離與它到y(tǒng)=-1的距離相等，
∴曲線C₁是以F（0，1）為焦點(diǎn)，開口向上的拋物線，
∴曲線C₁方程為：x²=4y；
（2）結(jié)論：△PAB與△PAO的面積相等．
理由如下：
設(shè)P（x₀，$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$），則過點(diǎn)P的曲線C₁的切線的斜率為$\frac{1}{2}$x₀，
則切線AP方程為：y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，
令y=0可知x=$\frac{1}{2}$x₀，即A（$\frac{1}{2}$x₀，0），
設(shè)圓C₂的切線AB的方程為：x=ty+$\frac{1}{2}$x₀，
則1=$\frac{|0-t-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，整理得：t=$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{4}$，
∴圓C₂的切線AB的方程為：x=$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{4{x}_{0}}$y+$\frac{1}{2}$x₀，
點(diǎn)P到直線AB的距離d_AB=$\frac{|{x}_{0}+（\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}）•\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}{x}_{0}|}{\sqrt{1+（\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{{{x}_{0}}^{3}+4{x}_{0}}{16}|}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{2}$，
又∵AB=OA，d_AB=y_P，
∴△PAB與△PAO的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．