Question

6．某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖．根據(jù)圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）求第四小組的頻率，補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；并估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．（精確到0.1）；
（2）按分層抽樣的方法在數(shù)學(xué)成績(jī)是[60，70），[70，80）的兩組學(xué)生中選6人，再在這6人種任取兩人，求他們的分?jǐn)?shù)在同一組的概率；
（3）若從全市參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中，任意抽取3個(gè)學(xué)生，設(shè)這3個(gè)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括80分）的人數(shù)為X，（以該校學(xué)生的成績(jī)的頻率估計(jì)概率），求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由各組的頻率和等于1，能求出第四組的頻率，并能作出頻率直方圖．
（2）按分層抽樣的方法從中選6人，則數(shù)學(xué)成績(jī)是[60，70）的學(xué)生中選2人，數(shù)學(xué)成績(jī)是[70，80）的學(xué)生中選4人，由此能求出他們的分?jǐn)?shù)在同一組的概率．
（3）由頻率分布直方圖得數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括80分）的概率為0.3，任意抽取3個(gè)學(xué)生，設(shè)這3個(gè)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括80分）的人數(shù)為X，則X～B（3，0.3），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵各組的頻率和等于1，
∴第四組的頻率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，
作出頻率直方圖如右圖：
（2）數(shù)學(xué)成績(jī)是[60，70）的學(xué)生數(shù)所占頻率為0.15，數(shù)學(xué)成績(jī)是[70，80）的學(xué)生所點(diǎn)頻率為0.3，
按分層抽樣的方法從中選6人，則數(shù)學(xué)成績(jī)是[60，70）的學(xué)生中選2人，數(shù)學(xué)成績(jī)是[70，80）的學(xué)生中選4人，
從這6人中任取兩人，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
他們的分?jǐn)?shù)在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}$=7，
∴他們的分?jǐn)?shù)在同一組的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{7}{15}$．
（3）由頻率分布直方圖得數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括80分）的概率為0.3，
任意抽取3個(gè)學(xué)生，設(shè)這3個(gè)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分以上（包括80分）的人數(shù)為X，則X～B（3，0.3），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}0．{7}^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}0.3•0．{7}^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}0．{3}^{2}•0.7$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}0．{3}^{3}$=0.027，
∴X的數(shù)學(xué)期望EX=3×0.3=0.9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．