Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由${S}_{n}=2{n}^{2}+n$，利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{{S}_{n}-S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n=4n-1．．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-1）（4n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}）$，利用裂項求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n的取值范圍．

解答 解：（1）∵${S}_{n}=2{n}^{2}+n$，∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2+1=3，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^*，
把n=1代入a_n=4n-1，得a₁=3=S₁，
∴a_n=4n-1．．
（2）由（1）知：$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-1）（4n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}）$，
T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+…+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}$）
=$\frac{n}{12n+9}$，
當(dāng)n∈N^*時，T_n=$\frac{n}{12n+9}$單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=1時T_n取到最小值，且最小值是${T}_{1}=\frac{1}{21}$．
又∵$\frac{1}{4n+3}$＞0，∴$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}）＜\frac{1}{12}$．
綜上所述：$\frac{1}{21}＜{T}_{n}＜\frac{1}{12}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真裂項求和法的合理運用．