Question

5．函數(shù)$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$在（0，+∞）上取最小值時的x的值為1．

Answer 1

分析 在將函數(shù)式裂項，$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$=2（x+$\frac{1}{x}$）+1，再運用基本不等式求最值，最后確定取等條件．

解答 解：$f（x）=\frac{{2{x^2}+x+2}}{x}$
=2x+$\frac{2}{x}$+1=2（x+$\frac{1}{x}$）+1，
∵x＞0，∴x+$\frac{1}{x}$≥2，
因此，f（x）≥2×2+1=5，
當(dāng)且僅當(dāng)：x=$\frac{1}{x}$即x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值5，
故答案為：1．

點評 本題主要考查了運用基本不等式求函數(shù)的最小值，以及取等條件的分析，“一正，二定，三相等”是其前提條件，屬于基礎(chǔ)題．