Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C與直線y=x+m交于M，N兩點，且|MN|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，求m的值；
（Ⅲ）若點A（x₁，y₁）與點P（x₂，y₂）在橢圓C上，且點A在第一象限，點P在第二象限，點B與點A關(guān)于原點對稱，求證：當(dāng)x₁²+x₂²=4時，三角形△PAB的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓的a，b，c，運用離心率公式計算即可得到所求值；
（Ⅱ）將直線y=x+m代入橢圓方程3x²+4y²=12，可得x的方程，運用韋達(dá)定理和判別式大于0，由弦長公式，解方程即可得到所求值；
（Ⅲ）求出直線AB的方程，運用點到直線的距離公式求得P到直線AB的距離，弦長AB，運用三角形的面積公式可得S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=|x₁y₂-x₂y₁|，再由A，P滿足橢圓方程，結(jié)合條件x₁²+x₂²=4，計算即可得到三角形△PAB的面積為定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，可得
a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）將直線y=x+m代入橢圓方程3x²+4y²=12，可得
7x²+8mx+4m²-12=0，
△=64m²-28（4m²-12）＞0，解得-$\sqrt{7}$＜m＜$\sqrt{7}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8m}{7}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（-\frac{8m}{7}）^{2}-\frac{16{m}^{2}-48}{7}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
解得m=±2，滿足△＞0；
（Ⅲ）證明：直線AB的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，即為y₁x-x₁y=0，
可得P（x₂，y₂）到直線AB的距離為d=$\frac{|{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，
則S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$•2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=|x₁y₂-x₂y₁|，
由x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，y₁²=$\frac{3}{4}$（4-x₁²），y₂²=$\frac{3}{4}$（4-x₂²），
可得y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$，
則|x₁y₂-x₂y₁|=|x₁|y₂+|x₂|y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$|x₁|+$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$|x₂|）
由x₁²+x₂²=4，可得x₁²=4-x₂²，x₂²=4-x₁²，
即有|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁²+x₂²）=2$\sqrt{3}$．
故當(dāng)x₁²+x₂²=4時，三角形△PAB的面積為定值2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓基本量的關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和弦長公式，考查三角形的面積為定值，注意運用點到直線的距離公式和點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．