Question

16．已知A，B是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右頂點，點C在該橢圓上，在△ABC中，tanA=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{8}$，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（-a，0），B（a，0），C（m，n），（m＞0，n＞0），運用直線的斜率公式，求出直線CA，CB的斜率，解得C的坐標，代入橢圓方程，可得a=2b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（-a，0），B（a，0），C（m，n），（m＞0，n＞0），
由△ABC中，tanA=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{8}$，
可得直線CA的斜率為$\frac{n}{m+a}$=$\frac{2}{3}$，
直線CB的斜率為$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{3}{8}$，
解得m=$\frac{7}{25}$a，n=$\frac{12}{25}$a，
將C（$\frac{7}{25}$a，$\frac{12}{25}$a）代入橢圓方程，可得：
$\frac{49{a}^{2}}{625{a}^{2}}$+$\frac{144{a}^{2}}{625^{2}}$=1，
化簡可得a=2b，即b=$\frac{1}{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用直線的斜率公式和點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．