Question

8．電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖； 
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根據已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表

	非體育迷	體育迷	合計
男
女
合計

（Ⅱ）將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中可知：抽取的100名觀眾中，“體育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列聯(lián)表，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據代入公式計算可得K²的觀測值為：k≈3.030．由“獨立性檢驗基本原理”即可判斷出；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖中可知：“超級體育迷”有5名，從而一切可能結果所組成的基本事件空間Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，其中a_i（i=1，2，3）表示男性，b_j（j=1，2）表示女性．設A表示事件“從“超級體育迷”中任意選取2名，至少有1名女性觀眾”，可得事件A包括7個基本事件，利用古典概率計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中可知：抽取的100名觀眾中，“體育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列聯(lián)表：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
總計	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據代入公式計算可得K²的觀測值為：k=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030．
∵3.030＜3.841，
∴我們沒有理由認為“體育迷”與性別有關．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖中可知：“超級體育迷”有5名，
從而一切可能結果所組成的基本事件空間Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，
其中a_i（i=1，2，3）表示男性，b_j（j=1，2）表示女性．
設A表示事件“從“超級體育迷”中任意選取2名，至少有1名女性觀眾”，
則事件A包括7個基本事件：（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）．
∴P（A）=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查了“獨立性檢驗基本原理”、古典概率計算公式、頻率分布直方圖及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題