Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），向量$\overrightarrow{n}$=（cosx，-y），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知A，B，C分別為△ABC的三個內(nèi)角，若f（$\frac{A}{2}$）=3，且sinBsinC=$\frac{3}{4}$，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)中的恒等變換應用可得函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=3可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合A范圍可求A，C=$\frac{2π}{3}$-B，由sinBsinC=$\frac{3}{4}$利用三角函數(shù)中的恒等變換應用可得sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，又由-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，可得2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，從而得解B，C的值，可得△ABC為等邊三角形．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-y=0，即有：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=3，
∴2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1=3，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜A＜π，∴可求A=$\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴C=$\frac{2π}{3}$-B，
由sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
⇒sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{4}$，
⇒sinB（sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）=$\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}sinBcos\\;B+\frac{1}{2}si{n}^{2}B=\frac{3}{4}$B$+\frac{1}{2}si{n}^{2}B=\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B+$\frac{1}{4}（1-cos2B）=\frac{3}{4}$，
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B=1
⇒sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1
又∵-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$$＜\frac{7π}{6}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$，△ABC為等邊三角形…12分

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．