Question

15．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、M分別為CC₁和A₁B的中點(diǎn)，A₁D⊥CC₁，△AA₁B是邊長為2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
（1）證明：MD∥平面ABC；
（2）證明：BC⊥平面ABB₁A₁
（3）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)H，連接HM，CH，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明MD∥平面ABC；
（2）根據(jù)三角形的邊長關(guān)系證明三角形是直角三角形，然后結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面ABB₁A₁
（3）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AC-A₁的余弦值．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接HM，CH，
∵D、M分別為CC₁和A₁B的中點(diǎn)，
∴HM∥BB₁，HM=$\frac{1}{2}$BB₁=CD，
∴HM∥CD，HM=CD，
則四邊形CDMH是平行四邊形，
則CH=DM．
∵CH?平面ABC，DM?平面ABC，
∴MD∥平面ABC；
（2）證明：取BB₁的中點(diǎn)E，
∵△AA₁B是邊長為2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
∴C₁D=1，
∵A₁D⊥CC₁，
∴A₁C₁=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
則A₁B₁²+A₁B₁²=4+1=5=A₁C₁²，
則△A₁B₁C₁是直角三角形，
則B₁C₁⊥A₁B₁，
∵在正三角形BA₁B₁中，A₁E=$\sqrt{3}$，
∴A₁E²+DE²=3+1=4=A₁D₁²，
則△A₁DE是直角三角形，
則DE⊥A₁E，
即BC⊥A₁E，BC⊥A₁B₁，
∵A₁E∩A₁B₁=A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁
（3）建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EA₁的反向延長線，ED分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，-$\sqrt{3}$，0），A₁（0，-$\sqrt{3}$，0），
則設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則x=$\sqrt{3}$，z=0，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
平面ACA₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-2，0，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y+z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=-$\sqrt{3}$，x=0，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1×1}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}•\sqrt{（-\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2×2}$=$\frac{1}{4}$，
即二面角B-AC-A₁的余弦值是$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直，線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．