Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）一個頂點為A（0，1），直線l：y=-x+2恰好與橢圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過頂點A做兩條互相垂直的直線分別交橢圓于B、C（點B在y軸的左邊），求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=1，將直線y=2-x代入橢圓方程，運用判別式為0，解得a，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+1，k＞0，代入橢圓方程可得，B的坐標，設直線y=-$\frac{1}{k}$x+1，代入橢圓方程可得，C的坐標，再由三角形的面積公式，S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|，運用兩點的距離公式和函數(shù)的單調性，計算即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得b=1，
直線l：y=-x+2代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
可得（b²+a²）x²-4a²x+4a²-a²b²=0，
由直線和橢圓相切可得判別式為0，
即16a⁴-4（b²+a²）（4a²-a²b²）=0，
即16a⁴-4（1+a²）（4a²-a²）=0，
解得a=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+1，k＞0，代入橢圓方程可得，
（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
可得B（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
設直線y=-$\frac{1}{k}$x+1，代入橢圓方程可得，
C（$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{k}^{4}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（{k}^{2}+3）^{2}}+\frac{36}{（{k}^{2}+3）^{2}}}$
=$\frac{18（k+{k}^{3}）}{3{k}^{4}+10{k}^{2}+3}$=$\frac{18（k+\frac{1}{k}）}{10+3（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
令k+$\frac{1}{k}$=t（t≥2），則S=$\frac{18t}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{18}{3t+\frac{4}{t}}$，
由3t+$\frac{4}{t}$的導數(shù)為3-$\frac{4}{{t}^{2}}$在[2，+∞）為正，則為遞增，
即有S≤$\frac{18}{6+2}$=$\frac{9}{4}$，
則當t=2即k=1時，△ABCD的面積取得最大值，且為$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的方程的運用，注意直線方程聯(lián)立橢圓方程，運用判別式為0，和求交點，考查運算能力，屬于中檔題．