Question

6．已知直線y=kx+2與拋物線C：x²=2py（p＞0）交于A，B兩點，若當(dāng)k=1時，$|AB|=4\sqrt{6}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過A，B兩點分別作拋物線C的切線，若兩條切線交于點M，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時，直線y=x+2，代入拋物線C：x²=2py得：x²-2px-4p=0，結(jié)合弦長公式，求出p值，可得答案．
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由韋達(dá)定理表示x₁+x₂與x₁x₂，利用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合直線的點斜式方程，求出直線AM與BM的方程，求出交點M的坐標(biāo)，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當(dāng)k=1時，直線y=x+2，代入拋物線C：x²=2py得：x²-2px-4p=0，
由弦長公式可得：
則$|AB|=4\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4{p}^{2}+16p}$，
解得：p=2，或p=-6（舍去），
故拋物線C的方程為：x²=4y；
（2）將y=kx+2代入拋物線C：x²=4y得：x²-4kx-8=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
由x²=4y得：y=$\frac{1}{4}$x²，則y′=$\frac{1}{2}$x，
故直線AM的方程為：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
直線BM的方程為：y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
兩式相減得：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k，
兩式相加得：2y=$\frac{1}{2}$×2k（x₁+x₂）-$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）=4k²-$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-4，
故y=-2，
故M點的坐標(biāo)為（2k，-2），
即點M的軌跡方程為y=-2

點評 本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是中檔題．