Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=$\frac{2}{3}，3{a_{n+1}}=2{a_n}$（n∈N^*），b₁+$\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-\frac{2}{3}$（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，不等式b₁+b₂+b₃+…+b_n+λb_n+1+2≤0恒成立，試求常數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，利用遞推關(guān)系可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得b₁+b₂+b₃+…+b_n=S_n，再利用不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵${a_1}=\frac{2}{3}，3{a_{n+1}}=2{a_n}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{2}{3}$，{a_n}為首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴${a_n}=\frac{2}{3}•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}={（\frac{2}{3}）^n}$
又∵${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-\frac{2}{3}$①
令$n=1，{b_1}={a_2}-\frac{2}{3}=-\frac{2}{9}$
令n≥2，${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={a_n}-\frac{2}{3}$②
①-②得，$\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-{a_n}={（\frac{2}{3}）^{n+1}}-{（\frac{2}{3}）^n}$=$（-\frac{1}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$，
∴${b_n}=（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，滿足此式．
∴${b_n}=（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$（n∈N*）
（2）令b₁+b₂+b₃+…+b_n=S_n，
${S_n}=（{-\frac{1}{3}}）（{\frac{2}{3}}）+（{-\frac{2}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{-1}）{（{\frac{2}{3}}）^3}+（{-\frac{4}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^4}+…+（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{S_n}=（{-\frac{1}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{-\frac{2}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^3}+（{-1}）{（{\frac{2}{3}}）^4}+（{-\frac{4}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
相減得：$\frac{1}{3}{S_n}=-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}（{（{\frac{2}{3}}）^2}+{（{\frac{2}{3}}）^3}+{（{\frac{2}{3}}）^4}+{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+{（\frac{2}{3}）^n}）+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$-\frac{1}{3}（\frac{2}{3}+{（{\frac{2}{3}}）^2}+{（{\frac{2}{3}}）^3}+{（{\frac{2}{3}}）^4}+{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+{（\frac{2}{3}）^n}）+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$（-\frac{1}{3}）\frac{{\frac{2}{3}（1-{{\frac{2}{3}}^n}）}}{{1-\frac{2}{3}}}+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$-\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$=$-\frac{2}{3}+（\frac{n}{3}+1）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
∴${S_n}=-2+（n+3）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
∴S_n+λb_n+1+2≤0，化簡(jiǎn)得，${（\frac{2}{3}）^n}^{+1}[{（n+3）-（\frac{n+1}{3}）λ}]≤0$，
即$λ≥\frac{3（n+3）}{n+1}=3+\frac{6}{n+1}$，
∵n∈N*，∴$λ≥3+\frac{6}{1+1}=6$，
∴常數(shù)λ的取值范圍為λ≥6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．