【題目】已知點AB的坐標(biāo)分別是(0),(,0),動點Mx,y)滿足直線AMBM的斜率之積為﹣3,記M的軌跡為曲線E

1)求曲線E的方程;

2)直線ykx+m與曲線E相交于PQ兩點,若曲線E上存在點R,使得四邊形OPRQ為平行四邊形(其中O為坐標(biāo)原點),求m的取值范圍.

【答案】1,(y0);(2)(﹣∞,][+∞).

【解析】

1)根據(jù)題意得kAMkBM3,(y0),化簡可得曲線E的方程.

2))設(shè)Px1,y1),Qx2,y2),聯(lián)立直線與曲線E的方程,得關(guān)于x的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理得x1+x2,y1+y2,△>0①,根據(jù)題意得PQ的中點也是OR的中點,得R點的坐標(biāo),再代入曲線E的方程,得2m2k2+3②,將代入m的取值范圍.

解:(1kAMkBM3,(y0

化簡得曲線E的方程:.(y0

2)設(shè)Px1,y1),Qx2,y2

聯(lián)立,得(3+k2x2+2kmx+m260,

x1+x2,y1+y2kx1+x2+2m,

△=(2km24×(3+k2)(m26)=﹣12m2+24k2+720,即﹣m2+2k2+60,

若四邊形OPRQ為平行四邊形,則PQ的中點也是OR的中點,

所以R點的坐標(biāo)為(),

又點R在曲線E上得,化簡得2m2k2+3②

代入得,m20,所以m0,由2m23,所以mm

所以m的取值范圍為(﹣∞,][,+∞).

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【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位,以原點為極點,以軸正半軸為極軸,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),射線,與曲線交于(不包括極點)三點,,

1)求證:

2)當(dāng)時,,兩點在曲線上,求的值.

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1)求拋物線的方程;

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(Ⅰ)求;

(Ⅱ)若存在正整數(shù),使得,求的最小值.從圖①,圖②,圖③中選擇一個適當(dāng)?shù)臈l件,補充在上面問題中并作答.

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【題目】已知命題的展開式中,僅有第7項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項為495;命題隨機變量服從正態(tài)分布,且,則.現(xiàn)給出四個命題:,,,其中真命題的是(

A.①③B.①④C.②③D.②④

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【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎,以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大,表示網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多,對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是20199月到20202月這半年中,某個關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.

根據(jù)該走勢圖,下列結(jié)論不正確的是( .

A.這半年中,網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度與時間具有比較明顯的線性相關(guān)性

B.201910月網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖具有較好的對稱性,與正態(tài)曲線相近,故當(dāng)月搜索指數(shù)的平均值約為29000

C.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,201910月的方差小于11月的方差

D.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,201912月的平均值大于20201月的平均值

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【題目】某社區(qū)消費者協(xié)會為了解本社區(qū)居民網(wǎng)購消費情況,隨機抽取了100位居民作為樣本,就最近一年來網(wǎng)購消費金額(單位:千元),網(wǎng)購次數(shù)和支付方式等進行了問卷調(diào)査.經(jīng)統(tǒng)計這100位居民的網(wǎng)購消費金額均在區(qū)間內(nèi),按,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計該社區(qū)居民最近一年來網(wǎng)購消費金額的中位數(shù);

(2)將網(wǎng)購消費金額在20千元以上者稱為“網(wǎng)購迷”,補全下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系”;

合計

網(wǎng)購迷

20

非網(wǎng)購迷

45

合計

100

(3)調(diào)査顯示,甲、乙兩人每次網(wǎng)購采用的支付方式相互獨立,兩人網(wǎng)購時間與次數(shù)也互不. 影響.統(tǒng)計最近一年來兩人網(wǎng)購的總次數(shù)與支付方式,所得數(shù)據(jù)如下表所示:

網(wǎng)購總次數(shù)

支付寶支付次數(shù)

銀行卡支付次數(shù)

微信支付次數(shù)

80

40

16

24

90

60

18

12

將頻率視為概率,若甲、乙兩人在下周內(nèi)各自網(wǎng)購2次,記兩人采用支付寶支付的次數(shù)之和為,求的數(shù)學(xué)期望.

附:觀測值公式:

臨界值表:

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的垂直平分線過定點,求的取值范圍。

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)射線與曲線C2交于OP兩點,射線與曲線C1交于點Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.

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