Question

10．已知點P（c，$\frac{3}{2}$c）在以F（c，0）為右焦點的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，斜率為l的直線m過點F與橢圓Γ交于A，B兩點，且與直線l：x=4c交于點M，求橢圓Γ的離心率e．

Answer 1

分析 由題意可得左焦點，由橢圓的定義，可得2a=|PF'|+|PF|，運用兩點的距離公式和離心率公式計算即可得到．

解答 解：由題意可得左焦點F'（-c，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF|+|PF'|
=$\frac{3}{2}$c+$\sqrt{（c+c）^{2}+（\frac{3}{2}c）^{2}}$=$\frac{3}{2}$c+$\frac{5}{2}$c=4c，
即a=2c，
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和離心率的求法，屬于中檔題．