Question

5．為了整頓食品的安全衛(wèi)生，食品監(jiān)督部門對某食品廠生產(chǎn)的甲、乙兩種食品進(jìn)行了檢測調(diào)研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機(jī)在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機(jī)地抽取了一件，下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖（單位：毫克）

規(guī)定：當(dāng)食品中的有害微量元素含量在[0，10]時為一等品，在（10，20]為二等品，20以上為劣質(zhì)品．
（1）用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù)，再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個．求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率；
（2）每生產(chǎn)一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質(zhì)品虧損20元．根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品，的頻率分別估計(jì)這兩種食品為，一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率．若分別從甲、乙食品中各抽取l件，設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，利用互斥事件的概率加法公式能甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率概率．
（2））隨機(jī)變量X的所有可能取值為X可取-40，0，30，40，70，100，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望

解答 解：（1）從甲抽取的5個數(shù)據(jù)中，一等品有4×$\frac{5}{10}$=2個，非一等品有3個，從乙抽取的5個數(shù)據(jù)中，一等品有6×$\frac{5}{10}$=3個，非一等品有2個，
設(shè)”從甲中抽取的5個數(shù)據(jù)中任取2個，一等品個數(shù)為i”為事件A_i，（i=0，1，2）則P（A₀）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，P（A₁）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（A₂）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
設(shè)”從乙中抽取的5個數(shù)據(jù)中任取2個，一等品個數(shù)為i”為事件A_i，（i=0，1，2）則P（B₀）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，P（B₁）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P（B₀）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率為：
P=P（A₂B₂）+P（A₁B₁）+P（A₀B₀）=$\frac{1}{10}×\frac{3}{10}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{10}×\frac{1}{10}$=$\frac{21}{50}$，
（2）由題意，設(shè)“從甲中任取一件為一等品”為事件C₁，則P（C₁）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
設(shè)“從甲中任取一件為二等品”為事件C₂，則P（C₂）=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
設(shè)“從甲中任取一件劣質(zhì)品”為事件C₃，則P（C₃）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
設(shè)“從乙中任取一件為一等品”為事件D₁，則P（D₁）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)“從乙中任取一件為二等品”為事件D₂，則P（D₂）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
設(shè)“從乙中任取一件劣質(zhì)品”為事件D₃，則P（D₃）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
X可取-40，0，30，40，70，100，
P（X=-40）=P（C₃D₃）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{25}$，
P（X=30）=P（C₁D₃+C₃D₁）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{5}{25}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=0）=P（C₃D₂+C₂D₃）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{3}{25}$，
P（X=40）=P（C₂D₂）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{2}{25}$，
P（X=70）=P（C₁D₂+C₂D₁）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{8}{25}$，
P（X=100）=P（C₁D₁）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列為：

X	-40	0	30	40	70	100
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{6}{25}$

∴E（X）=-40×$\frac{1}{25}$+0×$\frac{3}{25}$+30×$\frac{1}{25}$+40×$\frac{2}{25}$+70×$\frac{8}{25}$+100×$\frac{6}{25}$=49.2．

點(diǎn)評 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一