Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx．
（1）曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x+1，求a；
（2）當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1：
（2）討論若0＜x＜1，若x≥1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，由恒成立思想可得f（x）＞0得0＜f（x）的最小值，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，分1＜a＜e，e≤a＜e²，求得最小值，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=e-a，
由切線方程為y=（e-1）x+1，可得e-a=e-1，
解得a=1；
（2）證明：若0＜x＜1，由e^x＞0，lnx＜0，1＜a＜e²，
則f（x）=e^x-alnx＞0顯然成立；
若x≥1，由f（x）＞0得0＜f（x）的最小值，
f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，由a＞0，可得
f″（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，可得
e^x-$\frac{a}{x}$在x≥1遞增，可得f′（x）≥e-a，
若1＜a＜e，即有f′（x）＞0，f（x）遞增，可得
f（x）≥f（1）=e，顯然f（x）＞0恒成立；
當(dāng)e≤a＜e²，設(shè)f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$=0的解為m，
即有1＜x＜m時(shí)，f（x）遞減，x＞m時(shí)，f（x）遞增，
可得x=m處f（x）取得最小值e^m-alnm，
由f（1）=e＞0，f（2）=e²-aln2＞0，
即有1＜m＜2，
f（m）=e^m-alnm=$\frac{a}{m}$-alnm，1＜m＜2，
f′（m）=-$\frac{a}{{m}^{2}}$-$\frac{a}{m}$＜0，
可得f（m）在（1，2）遞減，
即有f（m）＞0．
綜上可得當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用恒成立思想和分類討論的思想方法，屬于中檔題．