Question

4．己知兩點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），直線l過點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)C是l上異于點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，直線BP垂直線段OC并交線段AC于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線Γ．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）過點(diǎn)D（-1，0）的直線與曲線 Γ交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．當(dāng)△AEF的面積是△AMN的面積的2倍時(shí)，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)C（-2，m）（m≠0），則k_OC=-$\frac{m}{2}$，k_AC=$-\frac{m}{4}$，直線BP的方程為：y=$\frac{2}{m}$（x+2），直線AC的方程為：y=-$\frac{m}{4}$（x-2），聯(lián)立消去m解出即可．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁≠y₂），由題意可設(shè)直線MN的方程為x=ty-1，與橢圓方程聯(lián)立化為（m²+2）y²-2my-3=0．直線AM的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），由x_E=-2，可得y_E．同理可得：y_F=$\frac{-4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}$．可得|EF|=|y_E-y_F|．S_△AEF=$\frac{1}{2}|BA||EF|$，S_△AMN=$\frac{1}{2}|AD||{y}_{1}-{y}_{2}|$．利用S_△AEF=2S_△AMN，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)C（-2，m）（m≠0），則k_OC=-$\frac{m}{2}$，k_AC=$-\frac{m}{4}$，
∴直線BP的方程為：y=$\frac{2}{m}$（x+2），直線AC的方程為：y=-$\frac{m}{4}$（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{m}（x+2）}\\{y=-\frac{m}{4}（x-2）}\end{array}\right.$，消去m可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∴曲線Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．（y≠0）．
（2）由題意可設(shè)直線MN的方程為x=ty-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²-2my-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁≠y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+2}$．
直線AM的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），由x_E=-2，可得y_E=-$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{-4{y}_{1}}{m{y}_{1}-3}$．
同理可得：y_F=$\frac{-4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}$．
∴|EF|=|y_E-y_F|=$|\frac{4{y}_{2}}{m{y}_{2}-3}-\frac{4{y}_{1}}{m{y}_{1}-3}|$=$\frac{12|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}|BA||EF|$=$\frac{24|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}|AD||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{3}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
∵S_△AEF=2S_△AMN，
∴$\frac{24|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9|}$=3|y₁-y₂|，化為$|-\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}+2}-\frac{6{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+9|$=8，
化簡可得：$\frac{18}{{m}^{2}+2}$=8，解得m=$±\frac{1}{2}$，
∴直線MN的方程為：y=±2（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題