Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，若f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)g′（x）=x²-2x=x（x-2），從而確定g（x）的大致形狀，從而作函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象，從而結(jié)合圖象討論確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵g′（x）=x²-2x=x（x-2），
故g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
且g（0）=0，g（2）=$\frac{8}{3}$-4=-$\frac{4}{3}$；
作函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象如下，
，
結(jié)合圖象知，當(dāng)-a＜0，即a＞0時(shí)，
函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)-a=0，即a=0時(shí)，
函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)-a＞0，即a＜0時(shí)，
函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²與函數(shù)h（x）=-a（x-1）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，
故a的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．