Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并探究是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，在R上單調(diào)遞增．結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1））函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，在R上單調(diào)遞增．
若存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立，
則f（x²-t²）≥-f（x）=f（-x）．
即x²-t²≥-x．
即x²+x≥t²恒成立，
設(shè)y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t²≤2，
解得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
即存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$時(shí)使不等式f（x）+f（x²-t²）≥0對一切x∈[1，2]恒成立

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．