Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+4x（a＞0）
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈R時，恒有f（2x）≥7x+a²-3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=2時，不等式f（x）≥2x+1即|x-2|≥-2x+1，對x分類討論解出即可得出．
（II）f（2x）≥7x+a²-3，化為：f（2x）-7x≥a²-3，令g（x）=f（2x）-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥\frac{a}{2}}\\{a-x，x＜\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，利用函數(shù)的單調性可得：當x=$\frac{a}{2}$時，g（x）有最小值，g（x）_min=$g（\frac{a}{2}）$=$\frac{a}{2}$．若命題成立，可得：$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3，解出即可得出．

解答 解：（I）當a=2時，不等式f（x）≥2x+1即|x-2|≥-2x+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥-2x+1}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2-x≥-2x+1}\\{x-2＜0}\end{array}\right.$，解得{x|x≥-1}．
（II）f（2x）≥7x+a²-3，化為：f（2x）-7x≥a²-3，令g（x）=f（2x）-7x=|2x-a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥\frac{a}{2}}\\{a-x，x＜\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
∵x∈$（-∞，\frac{a}{2}）$時，g（x）單調遞減；x∈$（\frac{a}{2}，+∞）$時，g（x）單調遞增．
∴當x=$\frac{a}{2}$時，g（x）有最小值，g（x）_min=$g（\frac{a}{2}）$=$\frac{a}{2}$．
若命題成立，可得：$\frac{a}{2}≥{a}^{2}$-3，解得a∈（0，2]．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法、函數(shù)的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．