Question

20．已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f（2）=2，g（n）=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$（n∈N^*），求g（n）的解析式．

Answer 1

分析 （1）賦值法，令a=b=0和令a=b=1，可分別求出f（0）、f（1）
（2）構造f（-x）和f（x）之間的關系式，看符合奇函數(shù)還是偶函數(shù)，先賦值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可
（3）從而可知數(shù)列{$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1為，-1為首項的等差數(shù)列，故可求數(shù)列{A_n}的通項公式，從而得出數(shù)列g（n）的通項公式

解答 解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），則f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，則f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函數(shù)．
（3）令a=2，b=$\frac{1}{2}$，得f（1）=2f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（2），且f（2）=2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
設A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-（n-1）+2A_n，
∴$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=1+$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$，
即$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$-$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=-1，且$\frac{{A}_{1}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$=-1，
即數(shù)列{$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1為，-1為首項的等差數(shù)列，
∴$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴g（n）=-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查賦值法的巧妙使用、奇函數(shù)和偶函數(shù)的判定以及等差數(shù)列的證明和通項公式的求法，屬中檔題