Question

5．若不等式x²+1≥ax+b≥$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立．求實(shí)數(shù)b的取值范圍以及a與b滿(mǎn)足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 分別畫(huà)出函數(shù)y=x²+1，y=$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$在x∈[0，+∞）的圖象，可得b的范圍，討論a的范圍，①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，由恒成立思想，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，解不等式即可得到a，b的范圍．

解答 解：分別畫(huà)出函數(shù)y=x²+1，y=$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$在x∈[0，+∞）的圖象，
可得y=ax+b的縱截距b的范圍是（0，1），
①當(dāng)a≤0時(shí)，
由x²+1-ax-b≥0恒成立，即為（x²+1-ax-b）_min≥0，
由f（x）=x²+1-ax-b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-a≥0在[0，+∞）恒成立，
f（x）在[0，+∞）遞增，
即有f（0）取得最小，且為1-b，即1-b≥0，解得b≤1，
又ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$≥0恒成立，即為（ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$）_min≥0，
由g（x）=ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$的導(dǎo)數(shù)為a-${x}^{-\frac{1}{3}}$≤0，即g（x）在[0，+∞）遞減，
則g（x）無(wú)最小值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
由x²+1-ax-b≥0恒成立，即為（x²+1-ax-b）_min≥0，
由f（x）=x²+1-ax-b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-a，
可得x=$\frac{1}{2}$a處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，取得極小值，也為最小值1-b-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即1-b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，解得b≤1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
又ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$≥0恒成立，即為（ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$）_min≥0，
由g（x）=ax+b-$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{2}{3}}$的導(dǎo)數(shù)為a-${x}^{-\frac{1}{3}}$，當(dāng)x=a^-3時(shí)導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，
取得極小值，且為最小值b-$\frac{1}{2}$a^-2．即b-$\frac{1}{2}$a^-2≥0，解得b≥$\frac{1}{2}$a^-2．
綜上可得b的范圍是（0，1），a，b滿(mǎn)足的條件為$\frac{1}{2}$a^-2≤b≤1-$\frac{{a}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最值，同時(shí)考查分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．