Question

已知圓A的方程為（x+1）²+y²=16，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），P是圓A上任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線與AP交于點(diǎn)C．
（10求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)直線x=-1與曲線C的一個交點(diǎn)為M，若在C上有兩個動點(diǎn)E、F，且直線ME與MF關(guān)于直線x=-1對稱，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知|QP|=|QB|，Q在線段PA上，利用橢圓的定義，可求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線ME方程代入橢圓方程，利用點(diǎn)M（-1，

3

2

）在橢圓上，可求E的坐標(biāo)，利用直直線ME與MF關(guān)于直線x=-1對稱，可求F的坐標(biāo)，從而可得直線EF的斜率，問題得解．

解答： （1）解：由已知|QP|=|QB|，Q在線段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4
所以點(diǎn)C的軌跡是橢圓，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b²=3，
所以C點(diǎn)的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：由題意，設(shè)M（-1，

3

2

），設(shè)直線ME方程：得y=k（x+1）+

3

2

，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3+2k）x+4（k+

3

2

）²-12=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
因?yàn)辄c(diǎn)M（-1，

3

2

）在橢圓上，
所以x₁=

4(k+ 3 2 )2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

+k．
又直線ME與MF關(guān)于直線x=-1對稱，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4(-k+ 3 2 )2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

-k．
所以直線EF的斜率k_EF=-

1

2

．
即直線EF的斜率為定值，其值為-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的關(guān)系，斜率公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．