Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有S_n=2a_n+n-3成立．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n+n-3成立，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁+1-3，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1+n-1-3，
a_n=2a_n-2a_n-1+1，化為a_n=2a_n-1-1，變形為a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-1=1，公比為2；
（2）解：由（1）可得：${a}_{n}-1=1×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$．
∴$n{a}_{n}=n（{2}^{n-1}+1）$=n•2^n-1+n．
設(shè)A_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
∴2A_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-A_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=2$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ+1，
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．