Question

20．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=μ$\overrightarrow{DC}$．若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=1，$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\frac{2}{3}$，則λ+μ=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=1，求得4λ+4μ-2λμ=3 ①；再由$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\frac{2}{3}$，求得-λ-μ+λμ=-$\frac{2}{3}$②．結(jié)合①②求得λ+μ的值．

解答 解：由題意可得若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$），
=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DF}$+$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DF}$ 
=2×2×cos120°+$\overrightarrow{AB}$•μ$\overrightarrow{DC}$+λ$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$+λ$\overrightarrow{AD}$•μ$\overrightarrow{AB}$
=-2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ-2λμ-2=1，
∴4λ+4μ-2λμ=3 ①．
$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{EC}$•（-$\overrightarrow{FC}$）=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{FC}$=（1-λ）$\overrightarrow{BC}$•（1-μ）$\overrightarrow{DC}$
=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$•（1-μ）$\overrightarrow{AB}$
=（1-λ）（1-μ）×2×2×cos120°=（1-λ-μ+λμ）（-2）=-$\frac{2}{3}$，
即-λ-μ+λμ=-$\frac{2}{3}$ ②．
由①②求得λ+μ=$\frac{5}{6}$，
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．