Question

10．已知F₁（-c，0）、F₂（c、0）分別是橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（a＞0）的左、右焦點，點P是橢圓上一點，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）直線l與橢圓G交于兩個不同的點M，N．
（i）若直線l的斜率為1，且不經(jīng)過橢圓G上的點C（4，n），其中n＞0，求證：直線CM與CN關(guān)于直線x=4對稱．
（ii）若直線l過F₂，點B是橢圓G的上頂點，是否存在直線l，使得△BF₂M與△BF₂N的面積的比值為2？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．由PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$，可得m²=n²+4c²，m-n=$\frac{3a}{2}$，m+n=2a，又a²=5+c²，解出即可得出．
（2）（i）把x=4代入橢圓方程可得：$\frac{16}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，解得y，可得C（4，1）．設(shè)直線l的方程為：y=x+m，k_CM=k₁，k_CN=k₂，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²+8mx+4m²-20=0，△＞0，k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入分子=0．即可證明．
（ii）△BF₂M與△BF₂N的面積的比值為2，可得：|F₁M|=2|F₂M|，即y₁=-2y₂，①，當(dāng)直線l為x軸時，不和題意，舍去．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為x=k+$\sqrt{15}$，代入橢圓方程化為：（k²=4）y²+2$\sqrt{15}$ky-5=0，可得y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{15}k}{{k}^{2}+4}$，②y₁•y₂=$\frac{-5}{{k}^{2}+4}$，③由①②③聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∵PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$，
∴m²=n²+4c²，m-n=$\frac{3a}{2}$，m+n=2a，a²=5+c²，
解得：a²=20，c²=15．
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）（i）把x=4代入橢圓方程可得：$\frac{16}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，解得y=±1，則C（4，1）．
設(shè)直線l的方程為：y=x+m，k_CM=k₁，k_CN=k₂，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，化為：5x²+8mx+4m²-20=0，△=64m²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）=2x₁•x₂+（m-5）（x₁+x₂）+8（1-m）
=2×$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$+（m-5）×$（-\frac{8m}{5}）$+8（1-m）=0．
∴k₁+k₂=0，
∴直線CM與CN關(guān)于直線x=4對稱．
（ii）△BF₂M與△BF₂N的面積的比值為2，可得：
∴|F₁M|=2|F₂M|，即y₁=-2y₂，①，當(dāng)直線l為x軸時，不和題意，舍去．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為x=k+$\sqrt{15}$，代入橢圓方程化為：（k²=4）y²+2$\sqrt{15}$ky-5=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{15}k}{{k}^{2}+4}$，②y₁•y₂=$\frac{-5}{{k}^{2}+4}$，③由①②③聯(lián)立解得k²=$\frac{4}{23}$，即k=±$\frac{2\sqrt{23}}{23}$．
∴存在直線l的方程為：x±$\frac{2\sqrt{23}}{23}$y+$\sqrt{15}$=0，使得△BF₂M與△BF₂N的面積的比值為2．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、斜率計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．