Question

9．在直徑AB=2圓上有長度為1的動弦CD，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可以AB所在直線為x軸，直徑AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)∠BOC=x，$∠BOD=x+\frac{π}{3}$，從而可以得出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣即可求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡便可以得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-cos（x-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$，從而便可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的最大值．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)∠BOC=x，則$∠BOD=x+\frac{π}{3}$；
∴C（cosx，sinx），$D（cos（x+\frac{π}{3}），sin（x+\frac{π}{3}））$，且A（-1，0），B（1，0）；
∴$\overrightarrow{AC}=（cosx+1，sinx）$，$\overrightarrow{BD}=（cos（x+\frac{π}{3}）-1，sin（x+\frac{π}{3}））$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=cosxcos（x+\frac{π}{3}）-cosx$$+cos（x+\frac{π}{3}）-1+sinxsin（x+\frac{π}{3}）$
=$cos\frac{π}{3}-cos（x-\frac{π}{3}）-1$
=$-cos（x-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$；
∴$cos（x-\frac{π}{3}）=-1$時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，三角函數(shù)的定義，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和與差的余弦公式，余弦函數(shù)的最值．