Question

19．已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，$f（x）=\frac{3^x}{{{9^x}+1}}-\frac{1}{2}$，
（1）求函數(shù)y=f（x）在R上的解析式；
（2）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（3）求不等式 $f（x）＞\frac{1}{3}的解集$．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x＞0，從而-x＜0，這便可得到$f（-x）=\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}=-f（x）$，從而便可得出y=f（x）在R上的解析式；
（2）x∈（-∞，0）時(shí)，求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{{3}^{x}ln3（1-{9}^{x}）}{（{9}^{x}+1）^{2}}$，可以判斷f′（x）＞0，從而得出y=f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（3）根據(jù)（2）便可判斷出f（x）在R上為增函數(shù)，并可得出x≤0時(shí)，f（x）≤0，x＞0時(shí)，f（x）＞0，從而令$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$便可解出x，從而由f（x）的單調(diào)性即可解出$f（x）＞\frac{1}{3}$的解集．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，-x＜0，則：$f（-x）=\frac{{3}^{-x}}{{9}^{-x}+1}-\frac{1}{2}=\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}=-f（x）$；
∴$f（x）=-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}}&{x≤0}\\{-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}}&{x＞0}\end{array}\right.$；
（2）x∈（-∞，0）時(shí)，$f′（x）=（\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}）′-（\frac{1}{2}）′$=$\frac{{3}^{x}ln3（{9}^{x}+1）-{3}^{x}•{9}^{x}•2ln3}{（{9}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{3}^{x}ln3（1-{9}^{x}）}{（{9}^{x}+1）^{2}}$；
∵x＜0；
∴9^x＜1，1-9^x＞0，且3^x＞0，ln3＞0；
∴f′（x）＞0；
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)；
（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是增函數(shù)，x=0時(shí)，$\frac{{3}^{0}}{{9}^{0}+1}-\frac{1}{2}=0$，∴x≤0時(shí)，$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}≤0$；
x=0時(shí)，$-\frac{{3}^{0}}{{9}^{0}+1}+\frac{1}{2}=0$，∴x＞0時(shí)，$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}＞0$；
∴令$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，解得$x=lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}），或x=lo{g}_{3}（3-2\sqrt{2}）$；
∵x＞0，∴$x=lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}）$；
∴由f（x）$＞\frac{1}{3}$得，$f（x）＞f（lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}））$；
∴$x＞lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}）$；
∴不等式$f（x）＞\frac{1}{3}$的解集為$（lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}），+∞）$．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，對于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，求對稱區(qū)間上解析式的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性解不等式的方法．