Question

18．已知圓O：x²+y²=25及點P（-3，1）．
（1）試求經過點P與圓O相交弦長等于8的直線l的方程．
（2）若經過P點的直線l與圓O相交于點A、B，試求△ABO面積達到最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據已知可得滿足條件的直線斜率不存在，進而得到答案；
（2）當AB與OP垂直時，此時鈍角∠AOB取最小值，△OAB的面積為$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB取最大值，進而得到答案．

解答 解：（1）圓O：x²+y²=25的圓心坐標為（0，0），半徑為5，
圓心到P點的距離為3，
若直線l被圓所截的弦長等于8，
則圓心到直線的距離等于3，
故直線l與OP垂直，即直線l的斜率不存在，
則l的方程為x=-3；
（2）由題意可得OA=OB=5，
△OAB的面積為$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB=$\frac{25}{2}$sin∠AOB，
當AB與OP垂直時，此時鈍角∠AOB取最小值，
此時sin∠AOB取最大值$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
故△OAB的面積最大值為5$\sqrt{6}$，
由k_OP=$-\frac{1}{3}$得：直線l的斜率為3，
故直線l的方程為：y-1=3（x+3），即3x-y+10=0．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，熟練掌握直線與圓的位置關系的幾何特征是解答的關鍵，難度中檔．