Question

已知橢圓C：

y2

4

+x²=1，過點（0，m）作圓x²+y²=1的切線交橢圓C于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）將|AB|表示成m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）橢圓的半長軸長a=2，半短軸長b=1，半焦距c=

a2-b2

=

3

，即可求橢圓C的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）分類討論，將|AB|表示成m的函數(shù)，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，即可求|AB|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓的半長軸長a=2，半短軸長b=1，半焦距c=

a2-b2

=

3

，（2分）
∴焦點坐標是(0，

3

)，(0，-

3

)，離心率是e=

c

a

=

3

2

；                                （5分）
（Ⅱ）易知|m|≥1，當|m|=1時，切線AB方程為y=1或y=-1，此時|AB|=

3

；         （6分）
當|m|＞1時，易知切線AB方程斜率不為0，可設(shè)切線AB的方程為：y=kx+m，
即kx-y+m=0，則

|m|

1+k2

=1，得：k²=m²-1①
聯(lián)立：

y=kx+m y2 4 +x2=1

，得：

(kx+m)2

4

+x2=1，整理：（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0（8分）
其中△=（2km）²-4（k²+4）（m²-4）=-16m²+16k²+64
則|AB|=

1+k2

-16m2+16k2+16

k2+4

②
①代入②：|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，（10分）
而|AB|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，等號成立當且僅當|m|=

3

|m|

，即m=±

3

時．          （12分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．