Question

已知向量

a

=（sinx，-

3

），

b

=（1，cosx）
（1）若x是三角形的一個內(nèi)角，且

a

⊥

b

，求x；
（2）若函數(shù)f（x）=

a

•

b

+m的最大值為3，求m的值，并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件根據(jù)兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積公式，求得tanx的值，可得角x的值．
（2）由f（x）的最大值為3，求得m的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinx-

3

cosx=0，∴tanx=

π

3

．∵x為三角形的內(nèi)角，∴x=

π

3

．
（2）f(x)=

a

•

b

+m=sinx-

3

cosx+m=2sin(x-

π

3

)+m，∵f（x）的最大值為3，∴m=1．
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，故f（x）的遞增區(qū)間為：[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)．
由 2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)，求得 2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

，故f（x）的遞減區(qū)間為：[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

](k∈Z)．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的最值、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．