Question

15．如圖所示，曲線C由部分橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和部分拋物線C₂：y=-x²+1（y≤0）連接而成，C₁與C₂的公共點(diǎn)為A，B，其中C₁所在橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）求a，b的值；
（2）過點(diǎn)B的直線l與C₁，C₂分別交于點(diǎn)P，Q（P，Q，A，B中任意兩點(diǎn)均不重合），若AP⊥AQ，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）在拋物線的方程中，令y=0，解得b=1，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a；
（2）求得橢圓的方程，令直線的方程為x=my+1，代入橢圓方程和拋物線的方程，求得P，Q的坐標(biāo)，由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程可得m，進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）在C₂的方程中令y=0可得b=1，
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及a²-c²=b²=1，得a=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1．
（2）由（1）知，上半橢圓C₁的方程為y²+2x²=2（y≥0）．
易知，直線l與x軸不重合也不垂直，
設(shè)其方程為x=my+1 （m≠0），并將其代入C₁的方程，
整理得（2m²+1）y²+4my=0，
故可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1-2{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$，$\frac{-4m}{1+2{m}^{2}}$），顯然m＜0，
同理，將x=my+1 （m≠0）代入C₂的方程，
整理得m²y²+y+2my=0，
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{-m-{m}^{2}}{{m}^{2}}$，-$\frac{2m+1}{{m}^{2}}$），
∵AP⊥AQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{-m-{m}^{2}}{{m}^{2}}$+1）（$\frac{1-2{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$+1）-$\frac{2m+1}{{m}^{2}}$•$\frac{-4m}{1+2{m}^{2}}$=0，
即8m²+2m=0，解得m=-$\frac{1}{4}$，符合m＜0，
故直線l的方程為4x+y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓、拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程，求交點(diǎn)，同時考查向量垂直的條件，屬于中檔題．