Question

10．設(shè)點(diǎn)P在曲線y=e^x，點(diǎn)Q在曲線y=lnx上，則|PQ|最小值為（　　）

• A． ln2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到最小值..

解答 解：∵曲線y=e^x（e自然對數(shù)的底數(shù)）與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對稱，
故可先求點(diǎn)P到直線y=x的最近距離d，
設(shè)曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．