Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（3cosx，2cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）記△ABC的三內(nèi)角分別為A、B、C，相應三邊為a、b、c，若b²=c²+a²-ac且f（A）=$\sqrt{3}$，求f（C）．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解．
（2）由已知及余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可解得B的值，由f（A）=2$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，結(jié)合A的范圍可求A的值，從而由三角形內(nèi)角和定理可求C的值，即可得解．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3．
=6cos²x+2$\sqrt{3}$cosxsinx-3
=3（1+cos2x）+$\sqrt{3}$sin2x-3
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$…（6分）
（2）由b²=c²+a²-ac，可得cosB=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），可解得B=$\frac{π}{3}$…（8分）
∵f（A）=2$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$，A=$\frac{π}{4}$…（10分）
∴C=π-（A+B）=$\frac{5π}{12}$，
∴f（C）=2$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{7π}{6}$）=-$\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．