Question

如圖，已知在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處，測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10

3

m至點(diǎn)D處，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，則建筑物AE的高為

 

m．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：由題意及仰角的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖形中角與角的聯(lián)系，求出θ=15°，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由已知BC=30m，CD=10

3

m，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθm，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θm，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）m，
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）m，
∴

BC

CD

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot4θ)

，
即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

3

，
而cotθ-cot2θ=

cosθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

cosθsin2θ-sinθcos2θ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

；
同理可得cot2θ-cot4θ=

cos2θ

sin2θ

-

cos4θ

sin4θ

=

cos2θsin4θ-sin2θcos4θ

sin2θsin4θ

=

1

sin4θ

，
∴

sin4θ

sin2θ

=2cos2θ=

3

，
∴cos2θ=

3

2

，結(jié)合題意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15m．
故答案為：15

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形題型，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．