Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，便容易看出a=0時，f（x）為偶函數(shù)，a≠0時，f（x）便非奇非偶；
（2）根據(jù)題意便有f′（x）=$2x-\frac{a}{{x}^{2}}≥0$在[2，+∞）上恒成立，這樣便可得到a≤2x³恒成立，由于2x³為增函數(shù)，從而可以得出a≤16，這便可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）①當(dāng)a=0時，f（x）=x²為偶函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時，f（1）=1+a，f（-1）=1-a；
顯然f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）f′（x）=2x$-\frac{a}{{x}^{2}}$，要使f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)；
只需當(dāng)x≥2時，f′（x）≥0恒成立；
即$2x-\frac{a}{{x}^{2}}≥0$恒成立；
∴a≤2x³；
又x≥2；
∴函數(shù)2x³的最小值為16；
∴a≤16；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，16]

點評 考查偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，在判斷f（x）奇偶性時，不要漏了a=0的情況，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，清楚函數(shù)y=2x³為增函數(shù)．