Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（

3

，

3

），且離心率為

6

3

．斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題（Ⅰ）由曲線過定點(diǎn)和已知的離心率，得到參數(shù)a、b、c的關(guān)系式，解方程組求出的a、b、c值，得到橢圓的方程；（Ⅱ）用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程，通過直線的方程和橢圓的方程聯(lián)列方程組，得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，由于等腰三角形的底邊上的中線垂直于底邊，可求出參數(shù)的值，利用點(diǎn)線距離公式和三角形面積公式，求出本題答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

3

a2

+

3

b2

=1，

c

a

=

6

3

．
解得a=2

3

．又b²=a²-c²=4，
∴橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．…①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₁＜x₂）AB中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

．
∵AB是等腰△PAB的底邊，
∴PE⊥AB．
∴PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
此時(shí)方程①為4x²+12x=0，
解得 x₁=-3，x₂=0，
∴y₁=-1，y₂=2，
∴|AB|=3

2

．
此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離為
d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
∴△PAB的面積S=

1

2

|AB|d=

9

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)方程思想、韋達(dá)定理、點(diǎn)線距離公式等知識，計(jì)算量較大，屬于中檔題．