Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）（a∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（1）求定義域；
（2）求a的值；
（3）若g（x）=e^f（x）-

1-m

2+m

有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的零點(diǎn)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得到不等式組即可求定義域；
（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)，即可求出a的值；
（3）若g（x）=e^f（x）-

1-m

2+m

有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）有意義，
必有：

x+1＞0 1-x＞0

，解得x∈（-1，1）
函數(shù)的定義域?yàn)椋海?1，1）…（3分）
（2）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）（a∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是奇函數(shù)，
函數(shù)的定義域?yàn)椋海?1，1），
所以f（x）=-f（-x），即ln（x+1）+aln（1-x）=-ln（-x+1）-aln（1+x）
∴a=-1   …（8分）
（3）函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，
由題意：e^f（x）-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，
即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，∴x=-

2

3

m-

1

3

∈（-1，1）．解得：-2＜m＜1
∴m∈（-2，1）…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，考查基本知識(shí)．