Question

7．某種產(chǎn)品的以往各年的宣傳費(fèi)用支出x（萬(wàn)元）與銷售量t（萬(wàn)件）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)

x	2	4	5	6	8
t	4	3	6	7	8

（1）試求回歸直線方程；
（2）設(shè)該產(chǎn)品的單件售價(jià)與單件生產(chǎn)成本的差為y（元），若y與銷售量t（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），試估計(jì)宣傳費(fèi)用支出x為多少萬(wàn)元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？（注：銷售利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-宣傳費(fèi)用）
（參考數(shù)據(jù)與公式：$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）

Answer 1

分析 （1）利用公式求出$\hat$，$\hat{a}$，即可得出結(jié)論．
（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為u，則y與銷售量t（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），
根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-宣傳費(fèi)用，建立關(guān)系，即可求解．

解答 解：（1）樣本平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{1}{5}（2+4+5+6+8）$=5，$\overline{t}$=4+3+$\frac{1}{5}（4+3+6+7+8）$=5.6，
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）
∴$\hat$=$\frac{156-5×5×5.6}{145-5×{5}^{2}}$=0.8，
∴$\hat{a}$=5.6-0.8•5=1.6
故得回歸直線方程為：t=0.8x+1.6；
（2）該產(chǎn)品的單件售價(jià)與單件生產(chǎn)成本的差為y（元），若y與銷售量t（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30）．
設(shè)銷售利潤(rùn)為u，t=0.8x+1.6；即x=$\frac{t-1.6}{0.8}$
則u=yt-x=$（-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}）t$-x=$-\frac{1}{32000}{t}^{3}+\frac{3}{80}t+1$
那么：$u'=-\frac{1}{32000}{t}^{2}+\frac{3}{80}=-\frac{3}{80}（\frac{{t}^{2}}{400}-1）$
令u′=0，可得t=20．且當(dāng)t∈（0，20）時(shí)，u′＞0，當(dāng)t∈（20，30）時(shí)，u′＜0，
∴當(dāng)t=20時(shí)，u取得最大值，
此時(shí)20=0.8x+1.6，即x=23．
預(yù)測(cè)得宣傳費(fèi)用支出x為23萬(wàn)元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．