Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=$\frac{n}{2}$a_n（n∈N^*），其中S_n是{a_n}的前n項和，且a₂=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（n為奇數(shù)）}\\{{a}_{{2}^{n}}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$，求數(shù)列{b_n}的前2n項和．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{n}{2}$a_n（n∈N^*），可得當n=2時，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．當n≥3時，a_n=S_n-S_n-1，化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂，即可得出．
（2）${a}_{{2}^{n}}$=2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2．可得數(shù)列{b_n}的前2n項和=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）=2[0+2+4+…+（2n-2）]+（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹-2n），即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n（n∈N^*），∴當n=2時，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．
當n≥3時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}{a}_{n}$-$\frac{n-1}{2}{a}_{n-1}$，化為$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$×2=2（n-1），
當n=1，2時，上式也成立．
a_n=2（n-1）．
（2）${a}_{{2}^{n}}$=2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2．
∴數(shù)列{b_n}的前2n項和=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=2[0+2+4+…+（2n-2）]+（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹-2n）
=$2×\frac{n（2n-2）}{2}$+$\frac{8（{4}^{n}-1）}{4-1}$-2n
=2n²-4n+$\frac{8（{4}^{n}-1）}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、“累乘求積”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．