Question

13．直角三角形ABC中，A為直角，AB=1，BC=2，若點(diǎn)AM是BC邊上的高線，點(diǎn)P在△ABC 內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范圍是（　　）

• A． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0]
• B． [-$\frac{3}{4}$，0]
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0]
• D． [-3，0]

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，然后建系，求出M的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值為0，且可知當(dāng)P在線段AC上時(shí)，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值，設(shè)P（0，y）（0$≤y≤\sqrt{3}$），寫出數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由y的范圍求得最小值．

解答 解：如圖，

由AB=1，BC=2，可得AC=$\sqrt{3}$，
以AB所在直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），直線BC方程為$x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，
則直線AM方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1}\end{array}\right.$，解得：M（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），
由圖可知，當(dāng)P在線段BC上時(shí)，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最大值為0，
當(dāng)P在線段AC上時(shí)，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值，設(shè)P（0，y）（0$≤y≤\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）（-1，y）=$-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}y$$≥-\frac{3}{4}$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范圍是[$-\frac{3}{4}，0$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，想到建系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．