Question

3．在△ABC中，角A，B，C的所對的邊分別為a，b，c，且a²+b²=ab+c²．
（Ⅰ） 求tan（C-$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ） 若c=$\sqrt{3}$，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，代入tan（C-$\frac{π}{4}$）計算即可求出值；
（Ⅱ）把c的值代入已知等式變形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵a²+b²=ab+c²，a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C為△ABC內(nèi)角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
則tan（C-$\frac{π}{4}$）=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由ab+3=a²+b²≥2ab，得ab≤3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∴S_△ABC≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{3}$時“=”成立，
則S_△ABC的最大值是$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．