Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

．當a≤0時，直接驗證；當a＞0時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當x=

1

2a

時，函數(shù)g（x）取得極大值，
故要使g（x）有兩個不同解，只需要g(

1

2a

)=ln

1

2a

＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．
g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實數(shù)根，應(yīng)舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

2a

，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=

1

2a

時，函數(shù)g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，則g(

1

2a

)=ln

1

2a

＞0，解得0＜a＜

1

2

．
∴實數(shù)a的取值范圍是(0，

1

2

)．
故答案為：(0，

1

2

)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．