Question

5．在非直角三角形ABC中，若∠A+∠C=2∠B，且tanAtanC=2+$\sqrt{3}$，求△ABC的三內(nèi)角大�。�

Answer 1

分析 由三角形內(nèi)角和公式可得∠B=$\frac{π}{3}$，∠A+∠C=$\frac{2π}{3}$．再利用兩角和的正切公式求得tanAtanC和tanA+tanC的值，求得tanA和tanC的值，可得A、C的值．

解答 解：非直角三角形ABC中，若∠A+∠C=2∠B，則由三角形內(nèi)角和公式可得 2∠B+∠B=π，
∴∠B=$\frac{π}{3}$，∠A+∠C=$\frac{2π}{3}$．
又 tanAtanC=2+$\sqrt{3}$，即 tan（A+C）=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{tanA+tanC}{-1-\sqrt{3}}$，
∴tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{tanA=2+\sqrt{3}}\\{tanC=1}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{tanA=1}\\{tanC=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴C=$\frac{π}{4}$，A=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，或A=$\frac{π}{4}$ C=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$．
綜上可得，A=$\frac{5π}{12}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{4}$；或 A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形內(nèi)角和公式，兩角和的正切公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．